ルート2は、なぜ無限(1.41421356・・・)に続くのか?の証明

ルート2は、なぜ無限(1.41421356・・・)に続くのか?の証明

前提その1
1/2 = 0.5など、分数で表せる値は、無限小数ではない(有理数=分数で表せる数)

前提その2
1/3 = 0.3333・・・など有理数だが、無限小数もある(ただし必ず循環小数=同じ値の繰り返し)
1/7 = 0.14285714285・・・と142857がループする。

前提その3
有理数 = 分数(1/2) or 循環小数(1/3)
無理数 = 無限小数(ルート2や円周率)

前提その4
逆を言えば(対偶)
分数(有理数)で表せないなら、必ず無限小数(無理数)となるので証明になる。

前提が長いな・・・。
ここから証明を開始

証明その1
もしルート2が有理数なら、a/bの形で表せるはず。
前提条件その1 = aもbも0ではない数
前提条件その2 = a/bは、これ以上約分できない。

証明その2
ルート2×ルート2=2だから
a/b * a/b = 2のはず
移項すると(両辺にb*bをかけると)
a * a = 2 * b * b

証明その3
2*b*bは、2をかけているので偶数(2の倍数)のはず
という事は、a*aも偶数

証明その4
a*aは、同じ数をかけているので、a単体も偶数
※奇数×奇数=必ず奇数だから

証明その5
偶数とは2の倍数だから、a*a=4n(4の倍数)となる

証明その6
右辺の2*b*bも4の倍数という事になる

証明その7
b*bは、同じ数をかけているので、b単体も偶数(2の倍数)
※奇数×奇数=必ず奇数だから

証明その8
aもbも2の倍数という事になり、
証明その1の前提条件その2 = a/bは、これ以上約分できない。
という前提条件と矛盾する(2で約分できてしまう)
なので、有理数ではありない。無理数(無限小数)であると証明される。

感想
長い…。そして「なるほど!」というよりも、狐につままれたような感じ。
「お前がそう思うんならそうなんだろう、お前ん中ではな」とか言いたくなる。
積み重ねてきたロジックが、必ずしも説得力や納得感に直結しないのが、よく理解できたな…。
既約分数式(a/bは、これ以上約分できない)辺りを、もうちょい調べれば納得できるのか?

参考URL
https://atarimae.biz/archives/2013

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